Zkouška 11. 1. 2022 Balko

Zadání A

1. Definujte pojem vektorový prostor. (2b)
   Zformulujte a dokažte větu o dimenzi jádra a hodnosti matice. (8b)

2. Nechť V je množina reálných symetrických čtvercových matic řádu tři s nulami na hlavní diagonále.
   (a) Ukažte, že V tvoří podprostor $\mathbb{R}^{3x3}$. (3b)
   (b) Určete dimenzi prostoru V a sestavte nějakou jeho bázi. (3b)

3. Najděte nenulovou matici $A\in\mathbb{R}^{3x3}$ takovou, aby splňovala zároveň obě podmínky: (6b)
   $Ker(A) = span\{(1, -1, -1)^T, (1, 1, -3)^T\},$
   $Ker(A^T) = span\{(1, 2, 4)^T, (0, 1, 1)^T\}$.

4. Rozhodněte a zdůvodněte, která z následujících tvrzení jsou pravdivá:
   (a) V každém tělese charakteristiky 2 platí rovnost $(a+b)b = (b+b)a$. (2b)
   (b) Buďte $A, B\in\mathbb{R}^{n\times n}$ matice stejné hodnosti. Pak $A$ lze elementárními řádkovými úpravami převést na $B$. (2b)
   (c) V prostoru $\mathbb{R}^3$ existuje čtveřice nenulových vektorů $\{u, v, w, z\}$ taková, že $\{u, v, w\}$ je báze, ale každá jiná trojice prvků této čtveřice bází není. (2b)
   (d) Počet lineárních zobrazení mezi prostory $\mathbb{Z}_3^4\to\mathbb{Z}_3^2$ je $3^8$. (2b)

Oprava:

Návštěvník wrote: ↑ (a) V každém tělese charakteristiky 2 platí rovnost (a+b)b = (b+b)a. (2b)

Úlohu jsem špatně opsala, správně by mělo být (a+a)b = (b+b)a.

AHOJ ,tam jsou jen varianta a a b nebo tam mají vice

Ahoj, chcel by som sa opýtať, koľko času ste mali k dispozícií na vypracovanie tohto testu.
Ďakujem za odpoveď a aj poskytnutie otázok.

liu wrote: ↑ AHOJ ,tam jsou jen varianta a a b nebo tam mají vice

Varianty sú pokiaľ viem len dve A a B

patino wrote: ↑ Ahoj, chcel by som sa opýtať, koľko času ste mali k dispozícií na vypracovanie tohto testu.
Ďakujem za odpoveď a aj poskytnutie otázok.

2 hodiny, ak potrebuješ minútku, dve, na dopísanie vety, tak nie je problém (aj tak kým ostatný odovzdajú)